Veja como fazer para você (gerente de e-commerce) receber um e-mail avisando sempre que um produto estiver proximo a esgotar e outro aviso assim que o produto estiver com estoque zerado na sua loja WooCommerce.

Para isso, siga a imagem de referência abaixo e acesse o seu Admin e clique em:
1) Menu > WooCommerce
2) Sub Menu > Configurações
3) Aba > Produtos
4) Sub Aba > Estoque

Ao chegar nessa tela de configurações de estoque, veja o quadro azul (5) você deve ativar/marcar as duas caixas ( checkbox ) chamadas de Notificações.
No campo abaixo, “Destinatários da notificação” informe o seu e-mail, em seguida configure na próxima opção “Limiar de estoque baixo” a quantidade mínima de estoque, ao atingir este número, você receberá o primeiro e-mail de notificação.
No próximo campo, “Limiar de fora de estoque” deixe como 0, assim você receberá um novo e-mail quando o estoque estiver esgotado.

Obs: Claro que você pode ajustar essas quantidades como for melhor para o seu controle.

Bonus: Caso queira que os produtos que estiverem sem estoque fiquem escondidos para que os visitantes não possam ver itens esgotados, marque a última opção dentro do quadro azul chamada “Ocultar os produtos fora de estoque do catálogo”. e quando você adicionar estoque a um produto, ele irá voltar a ser exibido automaticamente na sua loja.